Second degré
Première Spécialité mathématiques
A-02
Discriminant
On appelle discriminant du polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ le nombre
$\Delta=b^2-4ac$
Calculer le discriminant : Q6
Calculez le discriminant des polynômes du second degré suivants.
- $2x^2-3x+1$
- $3x^2+5x-2$
- $4x^2-4x+1$
- $x^2+3x+3$
- $$ \begin{align*} \Delta&=(-3)^2-4\times2\times1\\ \Delta&=9-8\\ \Delta&=1 \end{align*} $$
- $$ \begin{align*} \Delta&=5^2-4\times3\times(-2)\\ \Delta&=25+24\\ \Delta&=49 \end{align*} $$
- $$ \begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times4\times1\\ \Delta&=16-16\\ \Delta&=0 \end{align*} $$
- $$ \begin{align*} \Delta&=3^2-4\times1\times3\\ \Delta&=9-12\\ \Delta&=-3 \end{align*} $$
Si $ax^2+bx+c$ est un polynôme du second degré et $\Delta$ son discriminant, alors :
$\alpha=-\frac{b}{2a} \quad\text{et}\quad \beta=-\frac{\Delta}{4a}$
Calculer $\alpha$ et $\beta$ : Q7
Déterminez $\alpha$ et $\beta$ pour les polynômes du second degré suivants. En déduire la forme canonique.
- $2x^2+3x-5$
- $3x^2+5x+10$
- $5x^2-x+6$
- $2x^2-12x+18$
- $3x^2-x-4$
- $x^2+2x+5$
- $7x^2-14x+7$
- $x^2-2x-3$
- $$2x^2+3x-5$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{3}{2\times2}\\
\alpha&=-\frac{3}{4}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{3^2-4\times2\times(-5)}{4\times2}\\
\beta&=-\frac{9+40}{8}\\
\beta&=-\frac{49}{8}
\end{align*}
$$
La forme canonique de $2x^2+3x-5$ est $2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{49}{8}$.
- $$3x^2+5x+10$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{5}{2\times3}\\
\alpha&=-\frac{5}{6}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{5^2-4\times3\times10}{4\times3}\\
\beta&=-\frac{25-120}{12}\\
\beta&=-\frac{-95}{12}\\
\beta&=\frac{95}{12}
\end{align*}
$$
La forme canonique de $3x^2+5x+10$ est $3\left(x+\frac{5}{6}\right)^2+\frac{95}{12}$.
- $$5x^2-x+6$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-1}{2\times5}\\
\alpha&=\frac{1}{10}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{(-1)^2-4\times5\times6}{4\times5}\\
\beta&=-\frac{1-120}{20}\\
\beta&=-\frac{-119}{20}
\end{align*}
$$
La forme canonique de $5x^2-x+6$ est $5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2+\frac{119}{20}$.
- $$2x^2-12x+18$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-12}{2\times2}\\
\alpha&=-\frac{-12}{4}\\
\alpha&=3
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{(-12)^2-4\times2\times18}{4\times2}\\
\beta&=-\frac{144-144}{8}\\
\beta&=0
\end{align*}
$$
La forme canonique de $2x^2-12x+18$ est $2\left(x-3\right)^2$.
- $$3x^2-x-4$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-1}{2\times3}\\
\alpha&=\frac{1}{6}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{(-1)^2-4\times3\times(-4)}{4\times3}\\
\beta&=-\frac{1+48}{12}\\
\beta&=-\frac{49}{12}
\end{align*}
$$
La forme canonique de $3x^2-x-4$ est $3\left(x+\frac{1}{6}\right)^2-\frac{49}{12}$.
- $$x^2+2x+5$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{2}{2\times1}\\
\alpha&=-\frac{2}{2}\\
\alpha&=-1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{2^2-4\times1\times5}{4\times1}\\
\beta&=-\frac{4-20}{4}\\
\beta&=-\frac{-16}{4}\\
\beta&=4
\end{align*}
$$
La forme canonique de $x^2+2x+5$ est $\left(x+1\right)^2+4$.
- $$7x^2-14x+7$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-14}{2\times7}\\
\alpha&=\frac{14}{14}\\
\alpha&=1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{(-14)^2-4\times7\times7}{4\times7}\\
\beta&=-\frac{196-196}{28}\\
\beta&=0
\end{align*}
$$
La forme canonique de $7x^2-14x+7$ est $7\left(x-1\right)^2$.
- $$x^2-2x-3$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-2}{2\times1}\\
\alpha&=\frac{2}{2}\\
\alpha&=1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\beta&=-\frac{(-2)^2-4\times1\times(-3)}{4\times1}\\
\beta&=-\frac{4+12}{4}\\
\beta&=-\frac{16}{4}\\
\beta&=-4
\end{align*}
$$
La forme canonique de $x^2-2x-3$ est $\left(x-1\right)^2-4$.
Considérons un polynôme du second degré et $\Delta$ son discriminant :
- Si $\Delta\gt 0$, alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes.
- Si $\Delta=0$, alors le polynôme admet une seule racine réelle.
- Si $\Delta\lt 0$, alors le polynôme n'admet pas de racine réelle.
Calculer le nombre de racines réelles : Q8
Déterminez le nombre de racines réelles des polynômes du second degré suivants en calculant leur discriminant.
- $2x^2+3x-5$
- $3x^2+5x+10$
- $5x^2-x+6$
- $2x^2-12x+18$
- $3x^2-x-4$
- $x^2+2x+5$
- $7x^2-14x+7$
- $x^2-2x-3$
- $$
\begin{align*}
\Delta&=3^2-4\times2\times(-5)\\
\Delta&=9+40\\
\Delta&=49
\end{align*}
$$
$\Delta\gt0$, donc $2x^2+3x-5$ admet deux racines réelles distinctes.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=5^2-4\times3\times10\\
\Delta&=25-120\\
\Delta&=-95
\end{align*}
$$
$\Delta\lt0$, donc $3x^2+5x+10$ n'admet pas de racine réelle.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=(-1)^2-4\times5\times6\\
\Delta&=1-120\\
\Delta&=-119
\end{align*}
$$
$\Delta\lt0$, donc $5x^2-x+6$ n'admet pas de racine réelle.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=(-12)^2-4\times2\times18\\
\Delta&=144-144\\
\Delta&=0
\end{align*}
$$
$\Delta=0$, donc $2x^2-12x+18$ admet deux racines réelles identiques.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=(-1)^2-4\times3\times(-4)\\
\Delta&=1+48\\
\Delta&=49
\end{align*}
$$
$\Delta\gt0$, donc $3x^2-x-4$ admet deux racines réelles distinctes.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=2^2-4\times1\times5\\
\Delta&=4-20\\
\Delta&=-16
\end{align*}
$$
$\Delta\lt0$, donc $x^2+2x+5$ n'admet pas de racine réelle.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=(-14)^2-4\times7\times7\\
\Delta&=196-196\\
\Delta&=0
\end{align*}
$$
$\Delta=0$, donc $7x^2-14x+7$ admet deux racines réelles identiques.
- $$
\begin{align*}
\Delta&=(-2)^2-4\times1\times(-3)\\
\Delta&=4+12\\
\Delta&=16
\end{align*}
$$
$\Delta\gt0$, donc $x^2-2x-3$ admet deux racines réelles distinctes.
Considérons un polynôme du second degré de discriminant $\Delta\gt 0$. Les racines de ce polynôme sont données par :
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Calculer les racines : Q9
Calculez les racines des polynômes du second degré suivants.
- $27x^2+27x-12$ avec $\Delta=45^2$
- $64x^2+32x-5$ avec $\Delta=48^2$
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{-27-\sqrt{45^2}}{2\times27}\\
x_1&=\frac{-27-45}{54}\\
x_1&=\frac{-72}{54}\\
x_1&=-\frac{4}{3}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{-27+\sqrt{45^2}}{2\times27}\\
x_2&=\frac{-27+45}{54}\\
x_2&=\frac{18}{54}\\
x_2&=\frac{1}{3}
\end{align*}
$$
Les racines de $27x^2+27x-12$ sont $x_1=-\frac{4}{3}$ et $x_2=\frac{1}{3}$.
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{-32-\sqrt{48^2}}{2\times64}\\
x_1&=\frac{-32-48}{128}\\
x_1&=\frac{-80}{128}\\
x_1&=-\frac{5}{8}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{-32+\sqrt{48^2}}{2\times64}\\
x_2&=\frac{-32+48}{128}\\
x_2&=\frac{16}{128}\\
x_2&=\frac{1}{8}
\end{align*}
$$
Les racines de $64x^2+32x-5$ sont $x_1=-\frac{5}{8}$ et $x_2=\frac{1}{8}$.
Déterminez les racines des polynômes du second degré suivants.
- $5x^2+3x-6$ avec $\Delta=129$
- $-3x^2+7x+2$ avec $\Delta=73$
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{-3-\sqrt{129}}{2\times5}\\
x_1&=\frac{-3-\sqrt{129}}{10}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{-3+\sqrt{129}}{2\times5}\\
x_2&=\frac{-3+\sqrt{129}}{10}
\end{align*}
$$
Les racines de $5x^2+3x-6$ sont $x_1=\frac{-3-\sqrt{129}}{10}$ et $x_2=\frac{-3+\sqrt{129}}{10}$.
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{-7-\sqrt{73}}{2\times(-3)}\\
x_1&=\frac{-7-\sqrt{73}}{-6}\\
x_1&=\frac{7+\sqrt{73}}{6}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{-7+\sqrt{73}}{2\times(-3)}\\
x_2&=\frac{-7+\sqrt{73}}{-6}\\
x_2&=\frac{7-\sqrt{73}}{6}
\end{align*}
$$
Les racines de $-3x^2+7x+2$ sont $x_1=\frac{7+\sqrt{73}}{6}$ et $x_2=\frac{7-\sqrt{73}}{6}$.
Calculez les racines des polynômes du second degré suivants.
- $3x^2+2x-\frac{15}{4}$ avec $\Delta=49$
- $5x^2-2x-\frac{8}{5}$ avec $\Delta=36$
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{-2-\sqrt{49}}{2\times3}\\
x_1&=\frac{-2-7}{6}\\
x_1&=\frac{-9}{6}\\
x_1&=-\frac{3}{2}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{-2+\sqrt{49}}{2\times3}\\
x_2&=\frac{-2+7}{6}\\
x_2&=\frac{5}{6}
\end{align*}
$$
Les racines de $3x^2+2x-\frac{15}{4}$ sont $x_1=-\frac{3}{2}$ et $x_2=\frac{5}{6}$.
- $$
\begin{align*}
x_1&=\frac{2-\sqrt{36}}{2\times5}\\
x_1&=\frac{2-6}{10}\\
x_1&=\frac{-4}{10}\\
x_1&=-\frac{2}{5}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
x_2&=\frac{2+\sqrt{36}}{2\times5}\\
x_2&=\frac{2+6}{10}\\
x_2&=\frac{8}{10}\\
x_2&=\frac{4}{5}
\end{align*}
$$
Les racines de $5x^2-2x-\frac{8}{5}$ sont $x_1=-\frac{2}{5}$ et $x_2=\frac{4}{5}$.
Variations
Une parabole est une courbe plane symétrique par rapport à un axe et d'équation de la forme $y=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes avec $a\neq0$.
Le sommet d'une parabole est le point situé à l'intersection de l'axe de symétrie et de la parabole.
Si $f$ est une fonction polynôme du second degré de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f$ change de variation en $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
- Si $a\gt0$, alors $f$ est décroissante sur $\left]-\infty;\alpha\right]$ et croissante sur $\left[\alpha;+\infty\right[$.
- Si $a\lt0$, alors $f$ est croissante sur $\left]-\infty;\alpha\right]$ et décroissante sur $\left[\alpha;+\infty\right[$.
Dressez le tableau de variations.
- $\small f(x)=3x^2-12x+19$
- $\small f(x)=-5x^2+10x-1$
- $\small f(x)=6x^2+36x+46$
- $\small f(x)=-x^2-18x-82$
- $$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-12}{2\times3}\\
\alpha&=2
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f(2)&=3\times2^2-12\times2+19\\
f(2)&=3\times4-24+19\\
f(2)&=12-24+19\\
f(2)&=7
\end{align*}
$$
$a=3\gt0$ donc le tableau de variations de $f(x)=3x^2-12x+19$ est :
- $$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{10}{2\times(-5)}\\
\alpha&=1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f(1)&=-5\times1^2+10\times1-1\\
f(1)&=-5+10-1\\
f(1)&=4
\end{align*}
$$
$a=-5\lt0$ donc le tableau de variations de $f(x)=-5x^2+10x-1$ est :
- $$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{36}{2\times6}\\
\alpha&=-3
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f(-3)&=6\times(-3)^2+36\times(-3)+46\\
f(-3)&=6\times9-108+46\\
f(-3)&=54-108+46\\
f(-3)&=-8
\end{align*}
$$
$a=6\gt0$ donc le tableau de variations de $f(x)=6x^2+36x+46$ est :
- $$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-18}{2\times(-1)}\\
\alpha&=-9
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f(-9)&=-(-9)^2-18\times(-9)-82\\
f(-9)&=-81+162-82\\
f(-9)&=-1
\end{align*}
$$
$a=-1\lt0$ donc le tableau de variations de $f(x)=-x^2-18x-82$ est :
Sommet
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole dont le sommet a pour coordonnées $\left(\alpha;f(\alpha)\right)$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
Calculez les coordonnées du sommet de la parabole puis donner une représentation de la parabole dans un repère orthonormé.
- $\small f(x)=2 x^2 - 4 x + 4$
- $\small f(x)=-3 x^2 - 12 x - 13$
- $\small f(x)=-4 x^2 + 24 x - 33$
- $\small f(x)=5 x^2 + 40 x + 78$
- $$f(x)=2 x^2 - 4 x + 4$$
$$
\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-4}{2\times2}\\
\alpha&=1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f(1)&=2\times1^2-4\times1+4\\
f(1)&=2-4+4\\
f(1)&=2
\end{align*}
$$
Le sommet de la parabole est $S(1;2)$.
De plus $a=2\gt0$, donc la parabole est tournée vers le haut.
- $$f(x)=-3 x^2 - 12 x - 13$$
$$\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-12}{2\times(-3)}\\
\alpha&=-2
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
f(-2)&=-3\times(-2)^2-12\times(-2)-13\\
f(-2)&=-3\times4+24-13\\
f(-2)&=-12+24-13\\
f(-2)&=-1
\end{align*}$$
Le sommet de la parabole est $S(-2;-1)$.
De plus $a=-3\lt0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
- $$f(x)=-4 x^2 + 24 x - 33$$
$$\begin{align*}
\alpha&=-\frac{24}{2\times(-4)}\\
\alpha&=3
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
f(3)&=-4\times3^2+24\times3-33\\
f(3)&=-4\times9+72-33\\
f(3)&=-36+72-33\\
f(3)&=3
\end{align*}$$
Le sommet de la parabole est $S(3;3)$.
De plus $a=-4\lt0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
- $$f(x)=5 x^2 + 40 x + 78$$
$$\begin{align*}
\alpha&=-\frac{-40}{2\times5}\\
\alpha&=-4
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
f(-4)&=5\times(-4)^2+40\times(-4)+78\\
f(-4)&=5\times16-160+78\\
f(-4)&=80-160+78\\
f(-4)&=-2
\end{align*}$$
Le sommet de la parabole est $S(-4;-2)$.
De plus $a=5\gt0$, donc la parabole est tournée vers le haut.